براونيان، حركة، فوريكسورلد

حركة براونية حركة براونية، وتسمى أيضا حركة براونية. أي من الظواهر الفيزيائية المختلفة التي بعض الكمية باستمرار تمر صغيرة، وتقلبات عشوائية. كان اسمه لعلم النبات الاسكتلندي روبرت براون. أول دراسة لهذه التقلبات (1827). (يسار) حركة عشوائية لجسيم براوني (يمين) تناقض عشوائي بين الجزيئي إذا كان عدد من الجسيمات الخاضعة للحركة البنيانية موجودة في وسط معين وليس هناك اتجاه مفضل للتذبذبات العشوائية، ثم على مدى فترة من الزمن والجسيمات تميل إلى أن تنتشر بالتساوي في جميع أنحاء المتوسطة. وهكذا، إذا كانت A و B منطقتين متجاورتين، وفي الوقت t. A يحتوي على ضعف عدد الجزيئات ب. في تلك اللحظة احتمال جسيمات ترك ألف للدخول B هو ضعف أكبر من احتمال أن الجسيم سوف يترك B لدخول A. وتسمى العملية الفيزيائية التي تميل المادة إلى الانتشار بشكل مطرد من مناطق ذات تركيز عال إلى مناطق ذات تركيز أقل الانتشار. وبالتالي يمكن اعتبار الانتشار مظهرا ماكروسكوبيك للحركة براونية على المستوى المجهري. وبالتالي، فمن الممكن لدراسة الانتشار عن طريق محاكاة حركة الجسيمات البنيانية وحساب سلوكها المتوسط. ومن الأمثلة القليلة على عمليات الانتشار التي لا تعد ولا تحصى التي تمت دراستها من حيث الحركة البنيانية انتشار الملوثات عبر الغلاف الجوي. انتشار الثقوب (المناطق الدقيقة التي تكون فيها الشحنة الكهربائية المحتملة إيجابية) من خلال أشباه الموصلات. وانتشار الكالسيوم من خلال الأنسجة العظمية في الكائنات الحية. التحقيقات المبكرة إينستينز نظرية الحركة البنيانية 1. نظرية براونيان موشن الأساسية الأساسية في عام 1827، لاحظ عالم النباتات روبرت براون أن الجسيمات الصغيرة من حبوب اللقاح، عندما علقت في الماء، أظهرت حركة متواصلة ولكن متقلبة جدا وغير منتظمة. في عامه المعجزة في عام 1905، أوضح ألبرت أينشتاين السلوك جسديا، مما يدل على أن الجسيمات تتعرض باستمرار لقصف جزيئات الماء، وبالتالي المساعدة في تأسيس بحزم النظرية الذرية للمادة. وقد بنيت الحركة البراونية كعملية عشوائية رياضية لأول مرة بطريقة صارمة من قبل نوربرت ويينر في سلسلة من الأوراق بدءا من عام 1918. لهذا السبب، عملية الحركة البنيونية تعرف أيضا باسم عملية وينر. تشغيل ثنائي الأبعاد محاكاة الحركة براونية عدة مرات في وضع خطوة واحدة للحصول على فكرة عما قد يكون قد لاحظ السيد براون تحت المجهر له. جنبا إلى جنب مع عملية المحاكمات برنولي وعملية بواسون. فإن عملية الحركة البنيانية ذات أهمية مركزية في الاحتمال. ويستند كل من هذه العمليات على مجموعة من الافتراضات المثالية التي تؤدي إلى نظرية رياضية غنية. في كل حالة أيضا، يتم استخدام العملية كبنة بناء لعدد من العمليات العشوائية ذات الصلة التي هي ذات أهمية كبيرة في مجموعة متنوعة من التطبيقات. على وجه الخصوص، وتستخدم حركة براونية والعمليات ذات الصلة في تطبيقات تتراوح من الفيزياء إلى إحصاءات إلى الاقتصاد. تعريف حركة براونية قياسية هي عملية عشوائية (بس) مع مساحة الدولة (R) الذي يرضي الخصائص التالية: (X0 0) (مع احتمال 1). (بس) زيادات ثابتة. وهذا هو، بالنسبة إلى (s، t في 0، إنفتي)) مع (s ل t)، وتوزيع (شت - شس) هو نفس توزيع (X). (بس) له زيادات مستقلة. وهذا يعني أن المتغيرات العشوائية (X و X - X و لدوتس و X - X) مستقلة عن (t1 و t2 و لدوتس و تن في 0 و إنفتي)) مع (t1 لوت t2 لوت كدوتس لوت تن). (شت) عادة مع متوسط ​​0 والتباين (t) لكل (t في (0، إنفتي)). مع احتمال 1، (t مابستو شت) مستمر على (0، إنفتي)). لفهم الافتراضات جسديا، يتيح أخذها واحدة في وقت واحد. لنفترض أننا نقيس موقف الجسيمات البنيوية في بعد واحد، بدءا من وقت التعسفي الذي نسميه (t 0)، مع الموقف الأولي المعين باسم (س 0). ثم هذا الافتراض راض عن الاتفاقية. في الواقع، في بعض الأحيان، لها مريحة للاسترخاء هذا الافتراض والسماح (X0) أن يكون لها قيم أخرى. هذا هو بيان تجانس الوقت. لا تتغير الديناميات الكامنة (أي تساقط الجسيمات من جزيئات الماء) مع مرور الوقت، وبالتالي فإن توزيع تشريد الجسيمات في الفاصل الزمني (s، t) يعتمد فقط على طول الفاصل الزمني. هذا هو الافتراض المثالي الذي سيعقد تقريبا إذا كانت الفترات الزمنية كبيرة بالمقارنة مع الأوقات الصغيرة بين اصطدامات الجسيمات مع الجزيئات. هذا هو افتراض آخر مثالي يستند إلى نظرية الحد المركزي: موقف الجسيمات في الوقت (t) هو نتيجة لعدد كبير جدا من الاصطدامات، ولكل منها مساهمة صغيرة جدا. حقيقة أن المتوسط ​​هو 0 هو بيان التجانس المكاني. فإن الجسيمات ليست أكثر أو أقل احتمالا أن تكون مسدودة إلى اليمين من اليسار. بعد ذلك، نذكر أن افتراضات الزيادات الثابتة والمستقلة يعني أن (فار (شت) sigma2 t) لبعض ثابت إيجابي (sigma2). من خلال تغيير في مقياس الوقت، يمكننا أن نفترض (sigma2 1)، على الرغم من أننا سوف تنظر في الاقتراحات أكثر براونية في القسم التالي. وأخيرا، فإن استمرارية مسارات العينة هو افتراض أساسي، لأننا نمذجة موقف الجسيمات المادية كدالة من الزمن. وبطبيعة الحال، فإن السؤال الأول الذي يجب أن نسأله هو ما إذا كانت هناك عملية عشوائية تستوفي التعريف. لحسن الحظ، الجواب هو نعم، على الرغم من أن الدليل هو معقد. هناك مساحة احتمالية ((أوميغا، ماثسكر، P)) وعملية عشوائية (بس) على هذا الفضاء الاحتمالي يفي بالافتراضات الواردة في التعريف. وتؤدي الافتراضات الواردة في التعريف إلى مجموعة متسقة من توزيعات الأبعاد المحدودة (التي ترد أدناه). وهكذا من خلال نظرية وجود كولموغوروف. هناك عملية عشوائية (بس) لها هذه التوزيعات الأبعاد محدودة. ومع ذلك، (بس) ليس لديها مسارات عينة مستمرة، ولكن يمكننا بناء من (بس) عملية مكافئة التي لديها مسارات عينة مستمرة. نذكر أولا أن عقلانية ثنائية (أو دياديك عقلانية) في (0، إنفتي)) هو عدد من شكل (ك كبير 2N) حيث (ك في N). اسمحوا (Q) تدل على مجموعة من جميع العقلاني الثنائية في (0، إنفتي))، وتذكر أن (Q) هو عدها ولكن أيضا كثيفة في (0، إنفتي)) (وهذا هو، إذا (ر في 0، إنفتي) سيتينوس Q) ثم يوجد (تن في Q) ل (n في N) بحيث (تن إلى t) كما (n إلى إنفتي)). الآن، ل (n في N)، والسماح (شن (t) أوت) إذا (ر) هو عقلاني ثنائي من النموذج (ك 2N كبيرة) لبعض (k في N). وإذا لم يكن (t) مثاليا عقلانيا، حدد (شن (t)) بالاستكمال الخطي بين أقرب المبررات الثنائية لهذا النموذج على جانبي (t). ثم (شن) t إلى U (t)) (n إلى إنفتي) لكل (t في Q)، ومع احتمال 1، يكون التقارب موحدا على (Q كاب 0، T) لكل (T غ 0) . ثم يتبع ذلك (بس) مستمر على (Q) مع احتمال 1. للحصول على الخطوة الأخيرة، والسماح (شت ليم لنا) ل (ر في 0، إنفتي)). ويوجد الحد منذ (بس) مستمر على (Q) مع احتمال 1. العملية (بس) مستمرة على (0، إنفتي)) مع احتمال 1، ولها نفس التوزيعات الأبعاد محدودة كما (بس). تشغيل محاكاة عملية حركة براونية القياسية عدة مرات في وضع خطوة واحدة. لاحظ السلوك النوعي لمسارات العينة. تشغيل محاكاة 1000 مرة ومقارنة وظيفة الكثافة التجريبية وحظات من (شت) إلى وظيفة كثافة بروبابيلتي الحقيقية ولحظات. الحركة البراونية كحد من المشي العشوائي من الواضح أن الديناميات الكامنة وراء الجسيمات البراونية التي تثيرها الجزيئات تقترح السير العشوائي كنموذج محتمل، ولكن مع خطوات زمنية صغيرة وقفزات مكانية صغيرة. اسمحوا (بس (X0، X1، X2، لدوتس)) تكون متماثلة بسيط عشوائي عشوائي. وهكذا، (شن سوم n أوي) حيث (بس (U1، U2، لدوتس)) هو سلسلة من المتغيرات المستقلة مع (P (أوي 1) P (أوي -1) فراك) لكل (i في N). أذكر أن (E (شن) 0) و (فار (شن) n) ل (n في N). أيضا، وبما أن (بس) هي عملية المبلغ الجزئي المرتبطة بتسلسل إيد، (بس) له ثابت، زيادات مستقلة (ولكن بالطبع في وقت منفصل). وأخيرا، أذكر أنه من خلال نظرية الحد المركزي، (شن كبير سرت) يتقارب إلى التوزيع العادي العادي كما (ن إلى إنفتي). الآن، بالنسبة إلى (h، d في (0، إنفتي))، فإن عملية الوقت المستمر بس (t) اليسار: t في 0، إنفتي) هي عملية قفزة مع القفزات عند () وبقفزات من الحجم (بيإم d). في الأساس نود أن نسمح (ح هبوط 0) و (د دونارو 0)، ولكن هذا لا يمكن القيام به بشكل تعسفي. لاحظ أن (إليفتكس (t) الحق 0) ولكن (فارلفتكس (t) الحق d2 لفورل t h رفلور). وهكذا، من خلال نظرية الحد المركزي، إذا أخذنا (د سرت) ثم توزيع (X (t)) سوف تلتقي للتوزيع العادي مع متوسط ​​0 والتباين (ر) كما (ح هبوط 0). وبصورة أعم، قد نأمل أن تكون جميع المتطلبات الواردة في التعريف مستوفاة من عملية الحد، وإذا كان الأمر كذلك، فلدينا حركة براونية قياسية. تشغيل محاكاة عملية المشي العشوائي لزيادة قيم (ن). على وجه الخصوص، تشغيل المحاكاة عدة مرات مع (ن 100). قارن السلوك النوعي مع عملية حركة براونية القياسية. نلاحظ أن التحجيم من المشي العشوائي في الزمان والمكان يتم إفيسيتفيلي عن طريق توسيع المحاور الأفقية والرأسية في إطار الرسم البياني. توزيعات الأبعاد المحدودة السماح (بس) أن تكون حركة براونية قياسية. ويترتب على الجزء (د) من التعريف أن (شت) لها دالة كثافة الاحتمال (فت) تعطى بواسطة فت (x) فراك إكسليفت (-frac يمين)، x x في R تحدد دالة كثافة الكثافة هذه التوزيعات الأبعاد المحددة (بس). وإذا كانت (t1 و t2 و لدوتس و تن في (0 و إنفتي)) (0 لوت t1 لوت t2 كدوتس لوت تن) فإن (X و X و لدوتس و X) لها دالة كثافة الاحتمال (f) ) هي عملية غوسية ذات متوسط ​​وظيفة الدالة (m (t) 0) ل (t إن 0، إنفتي)) ووظيفة التباين (c (s، t) مين) ل (s، t إن 0، إنفتي)). وحقيقة أن (بس) هي عملية غاوسية لأن (شت) توزع عادة لكل (t في T) و (بس) لها زيادات ثابتة ثابتة. والوظيفة المتوسطة هي 0 بالافتراض. بالنسبة لوظيفة التباين، افترض (s، t في 0، إنفتي)) مع (s لي t). وبما أن (شس) و (شت - شس) مستقلان، فلدينا كوف (شس، شت) كوفليفتس، شس (شت - شس) فار فار (شس) 0 s نذكر أنه بالنسبة لعملية غوسية فإن الأبعاد المحدودة (متعددة المتغيرات) يتم تحديد التوزيعات بالكامل بواسطة الدالة المتوسطة (m) ووظيفة التباين (c). وهكذا، فإنه يتبع أن حركة براونية قياسية تتميز بأنها عملية غاوسية مستمرة مع وظائف المتوسط ​​والتكافؤ في النظرية الأخيرة. لاحظ أيضا أن كور (شس، شت) فراك سرت، رباعية (ق، ر) في 0، إنفتي) 2 يمكننا أيضا إعطاء لحظات أعلى وحظة توليد وظيفة ل (شت). (n n) و (t إن 0 و إنفتي)) (إليت (شت رايت) 1 كدوت 3 كدوتس (2 n - 1) تن (2 n) تن n (n 2n)) (إليت (شت رايت) 0) إثبات: تتبع هذه اللحظات من النتائج القياسية، حيث أن (شت) موزعة عادة بمتوسط ​​0 و تباين (t). أما بالنسبة إلى (t 0، إنفتي))، فإن (شت) لها دالة توليد حظة تعطى بواسطة إليف (e رايت) e، كواد u إن R أغين، هذه نتيجة قياسية للتوزيع الطبيعي. تحويلات بسيطة هناك العديد من التحولات البسيطة التي تحافظ على الحركة البنيانية القياسية وسوف تعطينا نظرة ثاقبة بعض خصائصه. كالمعتاد، مكان البداية لدينا هو حركة براونية القياسية (بس). النتيجة الأولى هي أن تعكس مسارات (بس) في السطر (x 0) يعطي معيار آخر حركة براونية اسمحوا (يت - Xt) ل (تي غي 0). ثم (بس) هو أيضا حركة براونية القياسية. ومن الواضح أن العملية الجديدة لا تزال عملية غوسية ذات دالة متوسطية (E (-Xt) - E (شت) 0) ل (t إن 0، إنفتي)) ووظيفة التباين (كوف (-Xs، - Xt) كوف ، شت) دقيقة) ل ((ق، ر) في 0، إنفتي) 2). وأخيرا، بما أن (بس) مستمر، فذلك هو (بس). نتيجتنا التالية تتعلق بممتلكات ماركوف، والتي نستكشف بمزيد من التفصيل أدناه. إذا قمنا بإعادة تشغيل حركة براونية في وقت ثابت (ق)، وتحويل الأصل إلى (شس)، ثم لدينا معيار آخر حركة براونية. وهذا يعني أن الحركة البنيانية متجانسة زمنيا ومكانيا. فيكس (s إن 0، إنفتي)) وحدد (يت X - شس) ل (t غي 0). ثم (بس) هو أيضا حركة براونية القياسية. وبما أن (بس) لها زيادات ثابتة ثابتة، فإن العملية (بس) تعادل التوزيع (بس). ومن الواضح أيضا (بس) مستمر منذ (بس) هو. نتيجتنا التالية هي انعكاس الوقت البسيط، ولكن لبيان هذه النتيجة، نحن بحاجة إلى تقييد المعلمة الوقت إلى فاصل زمني محدود من النموذج (0، T) حيث (T غ 0). يشار أحيانا إلى النقطة النهائية العليا (T) على أنها أفق زمني محدود. لاحظ أن () لا يزال يلبي التعريف. ولكن مع المعلمات الوقت يقتصر على (0، T). تعريف (يت X - شت) ل (0 لي t لي T). ثم (بس اليسار) هو أيضا حركة براونية القياسية على (0، T). (بس) هي عملية غوسية، لأن مجموعة خطية محدودة من المتغيرات من هذه العملية تقلل إلى مجموعة خطية محدودة من المتغيرات من (بس). التالي، (E (يت) E (X) - E (شت) 0). (X، شت، X - شت) كوف (X، X) - كوف (X، شت) كوف (يس، يت) أمب كوف (X، شت، 0 - T) - كوف (شت و X) كوف (شت و شت) أمب (T - t) - (T - s) - (T - t) T s إند وأخيرا، (t مابستو يت) مستمر على (0، T) مع الاحتمال 1، حيث أن (t مابستو شت) مستمر على (0، T) مع الاحتمال 1. لدينا التحول المقبل ينطوي على التحجيم (بس) على حد سواء مكانيا ومكانيا، ويعرف باسم التشابه الذاتي. دع (غ 0) وحدد (يت فراك X) ل (t غي 0). ثم (بس) هو أيضا حركة براونية القياسية. مرة أخرى، (بس) هي عملية غوسية، لأن مجموعات خطية محدودة من المتغيرات في (بس) تقلل إلى مجموعات خطية محدودة من المتغيرات في (بس). بعد ذلك، (E (يت) A (X) 0) ل (t غ 0)، و (s،، t غ 0) مع (s ل t)، كوف (يس، يت) كوفلفت (فراك X، فراك X الحق) فراك كوفلفت (X، X اليمين) فراك a2 سس وأخيرا (بس) هو عملية مستمرة منذ (بس) هو مستمر. ويلاحظ أن الرسم البياني لل (بس) يمكن الحصول عليه من الرسم البياني (بس) عن طريق توسيع محور الزمن (t) بعامل (a2) وتغيير المحور المكاني (x) بعامل (a). حقيقة أن عامل النطاق الزمني يجب أن يكون مربع عامل مقياس المكاني يرتبط بشكل واضح بالحركة البنيانية كحد أقصى للمشي العشوائي. لاحظ أيضا أن هذا التحول يقترب من التكبير أو الخروج من الرسم البياني (بس)، وبالتالي حركة براونية له نفس نوعية كسورية، لأن الرسم البياني لم يتغير من خلال هذا التحول. وهذا يشير أيضا إلى أنه على الرغم من استمرار، (t مابستو شت) غير منتظم للغاية. ونحن نعتبر ذلك في القسم الفرعي التالي. ويشار التحول النهائي لدينا كما عكس الوقت. اسمحوا (Y0 0) و (يت t X) ل (t غ 0). ثم (بس) هو أيضا حركة براونية القياسية. ومن الواضح أن (بس) هي عملية غوسية، حيث أن التوليفات الخطية المحدودة للمتغيرات في (بس) تقلل إلى مجموعات خطية محدودة من المتغيرات في (بس). بعد ذلك، (E (يت) t E (X) 0) ل (t غ 0) و (s، t t غ 0) مع (s ل t)، كوفلفت (يس، يتريت) كوفلفت (s X، t X)، كوفليفت (X، X يمين) ست فراك s منذ (t مابستو شت) مستمر على (0، إنفتي)) مع احتمال 1، (t مابستو يت) مستمر على ((0، إنفتي)) مع احتمال 1. وهكذا، كل ما تبقى هو لإظهار الاستمرارية في (ر 0). وبالتالي نحن بحاجة إلى أن تظهر أن مع احتمال 1، (ر X إلى 0) كما (ر هبوط 0). أو ما يعادلها، (شس s إلى 0) كما (سوبو إنفتي). لكن هذا البيان الأخير يحمله قانون اللوغاريتم المتكرر. المعطى أدناه. عدم الانتظام تشير الخصائص المحددة إلى أن الحركة البنيانية القياسية (بس) لا يمكن أن تكون وظيفة سلسة ومختلفة. (x)، في حين إذا كان (h لوت 0)، البسط لديه نفس التوزيع (-X)، الذي له بدوره نفس التوزيع (X). لذلك، في كلتا الحالتين، حاصل الفرق له نفس التوزيع (X كبير h)، وهذا المتغير لديه التوزيع الطبيعي مع متوسط ​​0 والتباين (ليفثريت كبير h2 1 ليفثريت كبير). وبالتالي فإن التباين في حاصل الفرق يتناقص إلى (إنفتي) كما (h إلى 0)، وبالتالي فإن حاصل الفرق لا يتلاقى حتى في التوزيع، وهو أضعف شكل من أشكال التقارب. التحول الزمني المكاني أعلاه يشير أيضا إلى أن حركة براونية لا يمكن أن تكون مختلفة. المعنى البديهي للتمييز في (t) هو أن الدالة خطية محليا عند (t) مداشاس نحن زون في الرسم البياني القريب (t) يبدأ أن يبدو وكأنه خط (الذي المنحدر، بطبيعة الحال، هو مشتق). ولكن كما نحن زون في الحركة براونية، (بمعنى التحول)، فإنه يبدو دائما نفسه، وعلى وجه الخصوص، تماما كما خشنة. وبصورة أكثر رسمية، إذا كان (بس) مختلفا في (t)، فذلك هو العملية المحولة (بس)، وتعطي قاعدة السلسلة (يبريم (t) a زبريم (a2 t)). ولكن (بس) هو أيضا حركة براونية القياسية لكل (غ 0)، لذلك هناك شيء خاطئ بشكل واضح. على الرغم من أن هذه الأمثلة ليست صارمة، فهي الدافع للنظرية التالية: مع احتمال 1، (بس) لا يمكن تمييزه في أي مكان على (0، إنفتي)). تشغيل محاكاة عملية الحركة البنيان القياسية. لاحظ استمرارية ولكن نوعية خشنة جدا من مسارات العينة. وبطبيعة الحال، فإن المحاكاة لا يمكن حقا التقاط حركة براونية مع الإخلاص الكامل. النظريات التالية تعطي مقياسا أكثر دقة لعدم انتظام الحركة البنيانية القياسية. معيار براونيان الحركة (بس) ديه هوملدر الأس (فراك). وهذا هو، (بس) هو هوملدر المستمر مع الأس (ألفا) لكل (ألفا لراك)، ولكن ليس هوملدر المستمر مع الأس (ألفا) لأي (ألفا غ فراك). على وجه الخصوص، (بس) ليست ليبشيتز مستمرة، وهذا يدل مرة أخرى أنه لا يمكن التفريق. النتيجة التالية تنص على أنه من حيث البعد هوسدورف، الرسم البياني للحركة براونية القياسية تقع في منتصف الطريق بين منحنى بسيط (البعد 1) والطائرة (البعد 2). الرسم البياني للحركة البنيانية القياسية لديها البعد هوسدورف (فراك). وهناك دلالة أخرى على عدم انتظام الحركة البنيانية هي أن لها تباين كلي لانهائي على أي فترة من الطول الموجب. افترض أن (a،، b في R) مع (لوت b). ثم يكون الاختلاف الكلي ل (بس) على (a، b) (إنفتي). عقار ماركوف ومواعيد التوقف كالعادة، نبدأ بحركة براونية قياسية (بس). نذكر أن عملية ماركوف لها الخاصية أن المستقبل مستقل عن الماضي، بالنظر إلى الحالة الراهنة. بسبب ثابت، زيادات مستقلة الممتلكات، الحركة براونية لديه الخاصية. كما ملاحظة ثانوية، لعرض (بس) كعملية ماركوف، ونحن في بعض الأحيان تحتاج إلى الاسترخاء الافتراض 1 والسماح (X0) لها قيمة تعسفية في (R). دعونا (ماثسكر تي سيغما)، سيجما الجبر الناتجة عن هذه العملية حتى الوقت (ر في 0، إنفتي)). عائلة (سيغما) - algebras (ماثفراك t: t في 0، إنفتي)) كما هو معروف الترشيح. حركة براونية قياسية هي عملية ماركوف متجانسة زمنيا مع كثافة احتمال الانتقال (p) تعطى بواسطة بت (x، y) فت (y - x) فراك إكسليفت-فراك رايت، كواد t إن (0، إنفتي) x، y إن R فيكس (s في 0، إنفتي)). وتنبع النظريات من حقيقة أن العملية (- شس: t في 0، إنفتي)) هي حركة براونية قياسية أخرى، كما هو مبين أعلاه. وهي مستقلة عن (ماثسكر s). وتستوفي الكثافة ترانستيون (p) معادلات الانتشار التالية. ويعرف الأول بالمعادلة الأمامية والثانية باعتبارها المعادلة المتخلفة. (x، y) فراك بت (x، y) فراك بت (x، y) إند هذه النتائج مستمدة من حساب التفاضل والتكامل القياسي. وتسمى معادلات الانتشار بذلك، لأن المشتق المكاني في المعادلة الأولى هو بالنسبة إلى (y)، الدولة إلى الأمام في الوقت (t)، في حين أن المشتقة المكانية في المعادلة الثانية هي بالنسبة إلى (x)، فإن الحالة إلى الوراء في الوقت 0. أذكر أن وقت عشوائي (تاو) أخذ القيم في (0، إنفتي) هو وقت التوقف فيما يتعلق العملية (بس) إذا (في ماثسكر t) لكل (ر في 0، إنفتي)). وبشكل غير رسمي، يمكننا أن نحدد ما إذا كان أو لم يكن (تاو لي t) من خلال مراقبة العملية حتى الوقت (t). حالة خاصة هامة هي المرة الأولى أن حركة براونية لدينا يضرب دولة محددة. وهكذا، ل (س في R) السماح (الشق إنف). الوقت العشوائي (تاوس) هو وقت التوقف. لوقت التوقف (تاو)، ونحن في حاجة إلى (سيغما) - Algebra من الأحداث التي يمكن تعريفها من حيث عملية تصل إلى الوقت العشوائي (تاو)، مماثلة ل (ماثسكر t)، (سيغما) - algebra من الأحداث التي يمكن تعريفها من حيث العملية حتى وقت محدد (t). التعريف المناسب هو ماثسكر تاو: B كاب في ماثسكر t تكست t غي 0 انظر القسم على فيلتيراتيونس و ستوبينغ تيمس لمزيد من المعلومات حول فيلتيراتيونس، أوقات التوقف، و سيغما-ألجبرا المرتبطة وقت التوقف. الملكية ماركوف قوية هي ملكية ماركوف المعمم لوقف مرات. حركة براونية القياسية (بس) هي أيضا عملية ماركوف قوية. أفضل طريقة لقول هذا هو من خلال تعميم نتيجة التجانس الزمني والمكاني أعلاه. لنفترض أن (تاو) هو وقت التوقف وتحديد (يت X - شتاو) ل (ر في 0، إنفتي)). ثم (بس) هو حركة براونية القياسية ومستقلة عن (ماثسكر تاو). مبدأ الانعكاس العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام للحركة براونية يمكن الحصول عليها من فكرة ذكية تعرف باسم مبدأ الانعكاس. كالمعتاد، نبدأ مع حركة براونية القياسية (بس). السماح (تاو) يكون وقت التوقف ل (بس). ديفين وت وتبدأ شت، أمب 0 لي t t لوت تاو 2 شتاو - شت، أمب تاو لي t لوت إنفتي نهاية وهكذا، يمكن الحصول على الرسم البياني (بس) من الرسم البياني (بس) من خلال التفكير في السطر (x شتاو) بعد الوقت (تاو). وعلى وجه الخصوص، إذا كان وقت التوقف (تاو) هو (توا)، وهي المرة الأولى التي تصل فيها العملية إلى حالة محددة (غ 0)، يتم الحصول على الرسم البياني (بس) من الرسم البياني (بس) الخط (زا) بعد الوقت (توا). فتح محاكاة تعكس حركة براونية. يظهر هذا التطبيق عملية (بس) المقابلة لوقت التوقف (توا)، ووقت الزيارة الأولى إلى حالة إيجابية (أ). تشغيل المحاكاة في وضع خطوة واحدة حتى ترى العملية المنعكسة عدة مرات. تأكد من فهم كيفية عمل العملية (بس). العملية المنعكسة (بس) هي أيضا حركة براونية قياسية. تشغيل محاكاة عملية الحركة براوني المنعكس 1000 مرة. كومبيور وظيفة الكثافة التجريبية وحظات (بالوزن) إلى وظيفة الكثافة الاحتمالية الحقيقية ولحظات. مارتينغاليس كالمعتاد، اسمحوا (بس) أن تكون حركة براونية القياسية، والسماح (ماثسكر تي سيغما) ل (ر في 0، إنفتي))، بحيث (ماثفراك t: ر في 0، إنفتي)) هو الترشيح الطبيعي ل ( بس). هناك العديد من مارتينغاليس الهامة المرتبطة (بس). سوف ندرس اثنين منهم في هذا القسم، وغيرها في الأقسام اللاحقة. نتيجتنا الأولى هي أن (بس) نفسها مارتينغال، ببساطة بحكم وجود ثابتة، زيادات مستقلة و 0 يعني. (بس) هو مارتينغال فيما يتعلق (ماثفراك). مرة أخرى، وهذا ينطبق على أي عملية مع الزيادات ثابتة ومستقلة و 0 يعني، ولكن نحن نقدم دليل على أي حال، لاستكمال. دع (s،، t في 0، إنفتي)) مع (s لوت t). وبما أن (شس) يمكن قياسه فيما يتعلق ب (ماثسكر s) و (شت - شس) مستقل عن (ماثسكر s) لدينا إليفت (شت ميد ماثسكر سريت) إليفتكس (شت - شس) ميد ماثسكر سريت شس E (شت - شس ) شس مارتينغال المقبل هو أكثر إثارة للاهتمام قليلا. السماح (يت Xt2 - t) ل (ر في 0، إنفتي)). ثم (بس) هو مارتينغال فيما يتعلق (ماثفراك). دع (s،، t في 0، إنفتي)) مع (s لوت t). ثم يت Xt2 - t ليفتكس (شت - شس) right2 - t Xs2 2 شس (شت - شس) (شت - شس) 2 - t نظرا لأن (شس) يمكن قياسه فيما يتعلق ب (ماثسكر s) و (شت - شس) (شت - شس) 0) و (إليت (شت - شس) إليت (شت - شس) الحق 2 - t ولكن (E (شت - شس) 0) و إليت (شت - شس) ) 2right فار (شت - شس) t - s) ذلك (إليفت (يت ميد ماثسكر سريت) Xs2 - s يس). الحد الأقصى و ضرب تايمز كالمعتاد، نبدأ مع حركة براونية القياسية (بس). بالنسبة إلى (y إن 0، إنفتي)) تذكر أن (تاوي مين) هي المرة الأولى التي تضرب فيها العملية (y). بطبيعة الحال، (tau0 0). (t 0، إنفتي))، اسمحوا (يت ماكس)، القيمة القصوى (بس) على الفاصل الزمني (0، t). ويلاحظ أن (يت) معرفة جيدا باستمرارية (بس) وبالطبع (Y0 0). وبالتالي لدينا اثنين من العمليات العشوائية الجديدة: () و (). على حد سواء مجموعة مؤشر (0، إنفتي)) و (كما سنرى) مساحة الدولة (0، إنفتي)). وعلاوة على ذلك، فإن العمليات هي بعضا من بعضها بعضا بمعنى: (t، y إن (0، إنفتي))، (تاوي لي t) إذا وفقط إذا (يت غي y). وبما أن الحركة البنيونية القياسية تبدأ عند 0 وهي مستمرة، فإن كلا الحدثين يعنيان أن الحالة تضرب العملية (y) في الفاصل الزمني (0، t). وبالتالي، إذا كنا نستطيع حساب توزيع (يت) لكل (t في (0، إنفتي)) ثم يمكننا حساب توزيع (تاي) لكل (ذ في (0، إنفتي))، والعكس بالعكس. وبالنسبة إلى (y غ 0)، فإن (تاوي) لها نفس التوزيع (y2 Z2 الكبير)، حيث (Z) هو متغير عادي معياري. وتعطى دالة الكثافة الاحتمالية (غراي) بواسطة غاي (t) فراك إكليفت (-frac يمين)، و t t في (0، إنفتي) اسمحوا (t غ 0). من النتيجة السابقة. لاحظ أن (شت غي y يعني يت غي y يعني تاوي لي t). ومن هنا، فإن P (شت غي y y) P (شت غي y ميد تاوي لي t) P (تاوي لي t) ولكن من خاصية ماركوف القوية أعلاه (s مابستو X (تاوي s) y) هو معيار آخر حركة براونية. وبالتالي (P (شت غي y ميد تاوي لي t) فراك). وبالتالي، فإن التكامل الثاني يتبع الأول من خلال تغيير المتغيرات (z x سرت كبير). يمكننا التعرف على هذا التكامل كما (بليفت (Y2 كبير Z2 لو تريت)) حيث (Z) لديها التوزيع العادي العادي. أخذ مشتق التكامل فيما يتعلق (ر) يعطي بدف. توزيع (تاوي) هو توزيع ليكوتيفي مع المعلمة مقياس (Y2)، ويدعى للعالم الرياضيات الفرنسي بول ليكوتيفي. يتم دراسة توزيع ليكوتيفي بمزيد من التفصيل في الفصل الخاص بالتوزيعات الخاصة. افتح تجربة وقت الضرب. فاري (y) ونلاحظ شكل وموقع وظيفة كثافة الاحتمال (تاوي). لقيم مختارة من المعلمة، تشغيل المحاكاة في وضع خطوة واحدة عدة مرات. ثم قم بتشغيل التجربة 1000 مرة ومقارنة دالة الكثافة التجريبية لوظيفة الكثافة الاحتمالية. افتح محاكي التوزيع الخاص وحدد توزيع ليكوتيفي. تختلف المعلمات ولاحظ شكل ومكان وظيفة الكثافة الاحتمالية. وفيما يتعلق بالقيم المختارة للمعلمات، قم بتشغيل المحاكاة 1000 مرة ومقارنة دالة الكثافة التجريبية بوظيفة كثافة الاحتمال. حركة براونية القياسية المتكررة. وهذا هو، (P (تاوي لوت إنفتي) 1) لكل (ذ في R). لنفترض أولا أن (y غ 0). من دليل على آخر نظرية. P (تاوي لوت إنفتي) ليم P (تاوي لي t) فراك int0infty e، دز 1 لاحظ أن التكامل أعلاه يعادل تكامل بدف العادي العادي فوق (R). على وجه الخصوص، وظيفة (غي) المذكورة أعلاه هو حقا بدف صالح. إذا كان (y لوت 0) ثم بالتناظر، (تاي) له نفس التوزيع (تاو)، لذلك (P (تاوي لوت إنفتي) 1). تافهة، (tau0 0). وبالتالي، لكل (ص في R)، (بس) يضرب في نهاية المطاف (ذ) مع احتمال 1. في الواقع يمكننا أن نقول أكثر: مع احتمال 1، (بس) زيارة كل نقطة في (R). ومن خلال الاستمرارية، إذا بلغ (بس) (y غ 0)، فإن (بس) تزور كل نقطة (0، y). بواسطة التماثل، يحمل بيان مماثل ل (لوت 0). وبالتالي فإن الحدث الذي (بس) يزور كل نقطة في (R) هو (بيغكاب إنفتي اليسار (كاب لوت إنفرايت)). واحتمال وجود تقاطع يمكن احتماله للأحداث مع احتمال 1 لا يزال له احتمالية 1. ومن ناحية أخرى، فإن الحركة المعيارية البنيانية لاغية متكررة. وهذا هو، (E (تاوي) إنفتي) لكل (ذ في R سيتمينوس). بواسطة التماثل، يكفي أن تنظر (y غ 0). من النتيجة أعلاه على توزيع (تاي). (تاوي) int0infty P (تاوي غ t)، دت فراك int0infty int0 e، دز، دت تغيير ترتيب التكامل يعطي E (تاوي) فراك int0infty int0 e، دت، دز فراك int0infty فراك e، دز التالي نحصل على أقل (0، 1) مع ملاحظة أن (e غي e) على هذا التكامل. وهكذا، E (تاوي) غي فراك int01 فراك، دز إنفتي عملية () ثابتة، الزيادات المستقلة. ويعتمد الدليل على التجانس الزمني والمكاني للحركة البنيانية وممتلكات ماركوف القوية. افترض أن (x، y إن 0، إنفتي)) مع (x لوت y). من خلال الاستمرارية، (ب) يجب أن تصل إلى (س) قبل الوصول (ذ). وهكذا، (تاي تو (تاوي - تو)). ولكن (تاوي - توكس) هو وقت الضرب (y - x) للعملية (t مابستو X (توكس t) - x)، وكما هو مبين أعلاه. هذه العملية هي أيضا حركة براونية القياسية، مستقلة عن (ماثسكر (توس)). وبالتالي (تاوي - توس) مستقلة عن (ماثسكر (توس)) ولها نفس التوزيع (تاو). وتغلق عائلة وظائف الكثافة الاحتمالية () تحت الانحلال. وهذا يعني، (g g g g) ل (x، y في (0، إنفتي)). ويأتي ذلك مباشرة من النظرية السابقة. دليل مباشر هو ممارسة مثيرة للاهتمام. الآن نلفت انتباهنا إلى أقصى عملية ()، معكوس لعملية ضرب (). وبالنسبة إلى (t غ 0)، فإن (يت) لها نفس التوزيع (ليفتسترايت)، المعروف بالتوزيع نصف العادي مع المعلمة المقياس (t). دالة الكثافة الاحتمالية هي هت (y) سرت إكسليفت (-frac رايت)، كواد y إن 0، إنفتي) إثبات: من العلاقة العكسية وتوزيع (تاي)، P (يت غي y) P (تاوي لي t ) 2 P (شت غي ذ) بليفت (يوركسترايت غي يريت)) ل (y غي 0). بحكم التعريف، (ليفتستريت) لديه التوزيع نصف العادي مع المعلمة (t). على وجه الخصوص، P (يت غي y) فراك إنتينفتي e، دكس أخذ مشتق السلبية من التكامل أعلاه، فيما يتعلق (y)، يعطي بدف. التوزيع نصف العادي هو حالة خاصة للتوزيع العادي المطوي. والتي تم دراستها بمزيد من التفصيل في الفصل الخاص بالتوزيعات الخاصة. وبالنسبة إلى (t غ 0)، فإن متوسط ​​التباين (يت) يتبعان من النتائج القياسية للتوزيع نصف العادي. في محاكاة حركة براونية القياسية. حدد القيمة القصوى. وتختلف المعلمة (t) وتلاحظ شكل دالة كثافة الاحتمال وموقع وحجم شريط الانحراف المعياري المتوسط. تشغيل محاكاة 1000 مرة ومقارنة الكثافة والحظات التجريبية لوظيفة الكثافة الاحتمالية الحقيقية ولحظات. افتح محاكي التوزيع الخاص وحدد التوزيع المطوي العادي. Vary the parameters and note the shape and location of the probability density function and the size and location of the mean-standard deviation bar. For selected values of the parameters, run the simulation 1000 times and compare the empirical density function and moments to the true density function and moments. Zeros and Arcsine Laws As usual, we start with a standard Brownian motion ( bs ). Study of the zeros of ( bs ) lead to a number of probability laws referred to as arcsine laws. because as we might guess, the probabilities and distributions involve the arcsine function. For ( s, t in 0, infty) ) with ( s lt t ), let ( E(s, t) ) be the event that ( bs ) has a zero in the time interval ( (s, t) ). That is, ( E(s, t) u in (s, t) ). Then PleftE(s, t)right 1 - frac arcsinleft(sqrt right) Conditioning on ( Xs ) and using symmetry gives PleftE(s, t)right int infty PleftE(s, t) mid Xs xright fs(x) , dx 2 int 0 PleftE(s, t) mid Xs xright fs(x) , dx But by the homogeneity of ( bs ) in time and space, note that for ( x gt 0 ), ( PleftE(s, t) mid Xs - xright P(taux lt t - s) ). That is, a process in state ( - x ) at time ( s ) that hits 0 before time ( t ) is the same as a process in state 0 at time 0 reaching state ( x ) before time ( t - s ). Hence PleftE(s, t)right int0infty int0 gx(u) fs(-x) , du , dx where ( gx ) is the PDF of ( taux ) given above. Substituting gives PleftE(s, t)right frac int0 u int0infty x expleft-frac x2 left(frac right) right , dx , du frac int0 frac , du Finally substituting ( v sqrt ) in the last integral give PleftE(s, t)right frac int0 frac , dv frac arctan left(sqrt - 1right) 1 - frac arcsinleft(sqrt right) In paricular, ( PleftE(0, t)right 1 ) for every ( t gt 0 ), so with probability 1, ( bs ) has a zero in ( (0, t) ). Actually, we can say a bit more: For ( t gt 0 ), ( bs ) has infinitely many zeros in ( (0, t) ) with probability 1. The event that ( bs ) has infinitely many zeros in ( (0, t) ) is ( bigcap infty E(0, t n) ). The intersection of a countable collection of events with probability 1 still has probability 1. The last result is further evidence of the very strange and irregular behavior of Brownian motion. Note also that ( PleftE(s, t)right ) depends only on the ratio ( s t ). Thus, ( PleftE(s, t)right PleftE(1 t, 1 s)right) and (PleftE(s, t)right PleftE(c s, c t)right ) for every ( c gt 0 ). So, for example the probability of at least one zero in the interval ( (2, 5) ) is the same as the probability of at least one zero in ( (15, 12) ), the same as the probability of at least one zero in ( (6, 15) ), and the same as the probability of at least one zero in ( (200, 500) ). For ( t gt 0 ), let ( Zt ) denote the time of the last zero of ( bs ) before time ( t ). That is, ( Zt maxleft ). Then ( Zt ) has the arcsine distribution with parameter ( t ). The distribution function ( Ht ) and the probability density function ( ht ) are given by begin Ht(s) amp frac arcsinleft(sqrt right), quad 0 le s le t ht(s) amp frac , quad 0 lt s lt t end For ( 0 le s lt t ), the event ( Zt le s ) is the same as ( lefE(s, t)rightc ), that there are no zeros in the interval ( (s, t) ). Hence the formula for ( Ht ) follows from the result above. Taking the derivative of ( Ht ) and simplifying gives the formula for ( ht ). The density function of ( Zt ) is ( u )-shaped and symmetric about the midpoint ( t 2 ), so the points with the largest density are those near the endpoints 0 and ( t ), a surprising result at first. The arcsine distribution is studied in more detail in the chapter on special distributions . The mean and variance of ( Zt ) are These are standard results for the arcsine distribution. That the mean is the midpoint (t2) also follows from symmetry, of course. In the simulation of standard Brownian motion. select the last zero variable. Vary the parameter ( t ) and note the shape of the probability density function and the size and location of the mean-standard deviation bar. For selected values of ( t ) run the simulation is single step mode a few times and note the position of the last zero. Finally, run the simulation 1000 times and compare the empirical density function and moments to the true probability density function and moments. Open the special distribution simulator and select the arcsine distribution. Vary the parameters and note the shape and location of the probability density function and the size and location of the mean-standard deviation bar. For selected values of the parameters, run the simulation 1000 times and compare the empirical density function and moments to the true density function and moments. Now let ( Z ) denote the set of zeros of ( bs ), so that ( Z ) is a random subset of ( 0, infty) ). The theorem below gives some of the strange properties of the random set ( Z ), but to understand these, we need to review some definitions. A nowhere dense set is a set whose closure has empty interior. A perfect set is a set with no isolated points. As usual, we let ( lambda ) denote Lebesgue measure on ( R ). With probability 1, ( Z ) is closed. ( lambda(Z) 0 ) ( Z ) is nowhere dense. ( Z ) is perfect. Proof: Note that ( Z) is the inverse image of the closed set ( ) under the function ( t mapsto Xt ). Since this function is continuous with probability 1, ( Z ) is closed with probability 1. For each ( t in (0, infty) ) note that ( P(t in Z) P(Xt 0) 0 ) since ( Xt ) has a continuous distribution. Using Fubinis theorem Eleftlambda(Z)right E leftint0infty bs Z(t) , dlambda(t)right int0infty Eleftbs Z(t)right , dlambda(t) 0 and hence ( Pleftlambda(Z) 0right 1 ), Since ( Z ) is closed and has Lebesgue measure 0, its interior is empty (all of these statements with probability 1). Suppose that ( s in Z ). Then by the temporal and spatial homogeneity properties, ( t mapsto X ) is also a standard Brownian motion. But then by the result above on zeros. with probability 1, ( bs ) has a zero in the interval ( (s, s 1 n) ) for every ( n in N ). Hence ( s ) is not an isolated point of ( Z ). The following theorem gives a deeper property of ( Z ). The Hausdorff dimension of ( Z ) is midway between that of a point (dimension 0) and a line (dimension 1). ( Z ) has Hausdorff dimension (frac ). The Law of the Iterated Logarithm As usual, let ( bs ) be standard Brownian motion. By definition, we know that ( Xt ) has the normal distribution with mean 0 and standard deviation ( sqrt ), so the function ( x sqrt ) gives some idea of how the process grows in time. The precise growth rate is given by the famous law of the iterated logarithm Computational Exercises In the following exercises, ( bs ) is a standard Brownian motion process. Explicitly find the probability density function, covariance matrix, and correlation matrix of ( (X , X1, X ) ).